Ich mache mir Sorgen. Das Wetter ist schön, ich lag den ganzen Tag in der Sonne und dennoch ist meine größte Entdeckung dieses Tages folgende Formel:

In der Wikipedia steht dazu: Gauß war nach zeitgenössischen Berichten der Ansicht, dass diese Formel einem Schüler der Mathematik sofort ersichtlich sein müsse – oder er würde niemals ein hochkarätiger Mathematiker werden.

Was ist so besonders an dieser Formel? Schauen wir uns mal die Bestandteile an:
e = 2,7182818284590452353602874713526… und hat unendlich viele Nachkommastellen. Auf e (die eulersche Zahl) kommt man folgendermaßen:

informell beschrieben: Wenn man für n unendlich einsetzen würde, käme e heraus.

pi = 3,1415926535897932384626433… hat auch unendlich viele Nachkommastellen. Pi entsteht folgendermaßen:

Also: Der Umfang eines Kreises mit einem Durchmesser von 1 ist pi.

i ist die imaginäre Einheit und wird bei den komplexen Zahlen benutzt. Die komplexen Zahlen wurden eingeführt, weil
x² + 1 = 0
keine Lösung hat, denn bekanntlich ist das Quadrat einer Zahl immer positiv. i ist allerdings so definiert, dass
i² = -1
ist, sprich auch negativ sein kann.

Und jetzt soll

gelten? Ja…

Aber bleiben wir noch ein bißchen bei den komplexen Zahlen:
Eine komplexe Zahl hat zwei Bestandteil: a ist der Realteil und b ist der Imaginärteil. Die Form ist also a + b*i
Für die Multiplikation von komplexen Zahlen gilt diese Rechenregel:

Mal zwei Beispiele:
1.
(2+0i)*(3+0i) = (2*3 – 0*0) + (2*0 + 0*3)i = 6 + 0i
Die Multiplikation funktioniert bei diesem Beispiel wie die ganz normale Multiplikation von 2*3=6, was daran liegt, dass die Multiplikanden ((2+0i) und (3+0i)) nur Realteile haben.
2.
Schauen wir mal, was sich bei dieser Rechnung ergibt:
(0+1i)*(0+1i) = (0*0 – 1*1) + (0*1 + 1*0)i = -1 + 0i
Hier kommt wie gefordert i² = -1 heraus.

Eine komplexe Zahl setzt sich also aus einem Realteil und Imaginärteil zusammen. Die komplexe Zahl ist also zweidimensional. Denkt man an ein Koordinatensystem, kann man die Zahl als Punkt eintragen:

In diesem Fall ist auf der x-Achse der Realteil und auf der y-Achse der Imaginärteil eingetragen. Die eingetragene komplexe Zahl ist also (3+2i).

Dieser Punkt im Koordinatensystem lässt sich auf zwei Weisen eindeutig beschreiben:

1. Mache einen Punkt bei (3|2), also x-Achse = 3, y-Achse = 2 – das kartesische Koordinatensystem spiegelt sich auch in der Form der komplexen Zahl wider: (3+2i)
2. Aber der Punkt ließe sich auch mit Polarkoordinaten beschreiben – ähnlich wie beim Radar (du bist beim Ursprung (Punkt (0|0)) und weißt, in welchem Winkel zur X-Achse (φ) der Punkt ist und wie weit dieser entfernt ist (r). (siehe auch obiges Bild)

Aus den Polarkoordinaten ergibt sich die trigonometrische Form einer komplexen Zahl:

Es gilt also, dass der Realteil a = r * cos φ
und der Imaginärteil b = r * sin φ
Wir erinnern uns an Sinus und Kosinus:

Und jetzt kommt die entscheidende Gleichung (Eulersche Identität), die zum Ah-Ha führen wird:

Wir beweisen diese Gleichung später und setzen erstmal für φ = pi ein.
Es gilt sin(pi) = 0 und cos(pi) = -1, also stimmt die Gleichung

Klar machen kann man es sich auch über diese Abbildung:

Im Fall von φ = pi (pi = 180°) liegt der Punkt bei (-1|0).

Jetzt zum versprochenen Beweis der Eulerschen Identität:

muss für alle x 1 ergeben, damit

stimmt.

Wir zeigen
(1) f ‚(x) = 0, was heißt, dass f(x) konstant ist
f ‚(x)

Der Zähler ist offensichtlich 0.

(2) f(0) = 1
Was gilt, denn cos(0) + i sin(0) = 1, denn sin(0)=0 und cos(0)=1
e^(i*0)=1, denn i*0=0 und e^0=1

Also gilt, das f(x) konstant 1 ist. □

Anhand dieser Formel werden wichtige mathematische Konstanten in Bezug zueinander gestellt und verschiedene Gebiete miteinander verknüpft (komplexe Zahlen, Exponentialfunktion, trigonometrische Funktionen).

Aber mal ganz ehrlich. Mir ist zwar klar, dass der Beweis stimmt, aber wie stimmen kann, wo e und pi reell sind, ist mir schleierhaft. Auf mich wirkt die Formel wie

• entweder ein Glücksgriff der Mathematik, die den dichten Nebel und die Dunkelheit der Unwissenheit an einer winzigen Stelle auf dieser Ebene verschwinden ließ
• oder eine absolute Trivialität, die wir als solche noch nicht erkannt haben.