Schönste Formel der Mathematik

Ich mache mir Sorgen. Das Wetter ist schön, ich lag den ganzen Tag in der Sonne und dennoch ist meine größte Entdeckung dieses Tages folgende Formel:
eipi0

In der Wikipedia steht dazu: Gauß war nach zeitgenössischen Berichten der Ansicht, dass diese Formel einem Schüler der Mathematik sofort ersichtlich sein müsse – oder er würde niemals ein hochkarätiger Mathematiker werden.

Was ist so besonders an dieser Formel? Schauen wir uns mal die Bestandteile an:
e = 2,7182818284590452353602874713526… und hat unendlich viele Nachkommastellen. Auf e (die eulersche Zahl) kommt man folgendermaßen:
e
informell beschrieben: Wenn man für n unendlich einsetzen würde, käme e heraus.

pi = 3,1415926535897932384626433… hat auch unendlich viele Nachkommastellen. Pi entsteht folgendermaßen:
pi
Also: Der Umfang eines Kreises mit einem Durchmesser von 1 ist pi.

i ist die imaginäre Einheit und wird bei den komplexen Zahlen benutzt. Die komplexen Zahlen wurden eingeführt, weil
x² + 1 = 0
keine Lösung hat, denn bekanntlich ist das Quadrat einer Zahl immer positiv. i ist allerdings so definiert, dass
i² = -1
ist, sprich auch negativ sein kann.

Und jetzt soll
eipi0
gelten? Ja…

Aber bleiben wir noch ein bißchen bei den komplexen Zahlen:
Eine komplexe Zahl hat zwei Bestandteil: a ist der Realteil und b ist der Imaginärteil. Die Form ist also a + b*i
Für die Multiplikation von komplexen Zahlen gilt diese Rechenregel:
cmult
Mal zwei Beispiele:
1.
(2+0i)*(3+0i) = (2*3 – 0*0) + (2*0 + 0*3)i = 6 + 0i
Die Multiplikation funktioniert bei diesem Beispiel wie die ganz normale Multiplikation von 2*3=6, was daran liegt, dass die Multiplikanden ((2+0i) und (3+0i)) nur Realteile haben.
2.
Schauen wir mal, was sich bei dieser Rechnung ergibt:
(0+1i)*(0+1i) = (0*0 – 1*1) + (0*1 + 1*0)i = -1 + 0i
Hier kommt wie gefordert i² = -1 heraus.

Eine komplexe Zahl setzt sich also aus einem Realteil und Imaginärteil zusammen. Die komplexe Zahl ist also zweidimensional. Denkt man an ein Koordinatensystem, kann man die Zahl als Punkt eintragen:
koord
In diesem Fall ist auf der x-Achse der Realteil und auf der y-Achse der Imaginärteil eingetragen. Die eingetragene komplexe Zahl ist also (3+2i).

Dieser Punkt im Koordinatensystem lässt sich auf zwei Weisen eindeutig beschreiben:

  1. Mache einen Punkt bei (3|2), also x-Achse = 3, y-Achse = 2 – das kartesische Koordinatensystem spiegelt sich auch in der Form der komplexen Zahl wider: (3+2i)
  2. Aber der Punkt ließe sich auch mit Polarkoordinaten beschreiben – ähnlich wie beim Radar (du bist beim Ursprung (Punkt (0|0)) und weißt, in welchem Winkel zur X-Achse (φ) der Punkt ist und wie weit dieser entfernt ist (r). (siehe auch obiges Bild)

Aus den Polarkoordinaten ergibt sich die trigonometrische Form einer komplexen Zahl:
trigo
Es gilt also, dass der Realteil a = r * cos φ
und der Imaginärteil b = r * sin φ
Wir erinnern uns an Sinus und Kosinus:
sincos

Und jetzt kommt die entscheidende Gleichung (Eulersche Identität), die zum Ah-Ha führen wird:
eulid
Wir beweisen diese Gleichung später und setzen erstmal für φ = pi ein.
Es gilt sin(pi) = 0 und cos(pi) = -1, also stimmt die Gleichung
eipi0

Klar machen kann man es sich auch über diese Abbildung:
eulidabb
Im Fall von φ = pi (pi = 180°) liegt der Punkt bei (-1|0).

Jetzt zum versprochenen Beweis der Eulerschen Identität:
fx1
muss für alle x 1 ergeben, damit
eulid
stimmt.

Wir zeigen
(1) f ‚(x) = 0, was heißt, dass f(x) konstant ist
f ‚(x)
abfx
Der Zähler ist offensichtlich 0.

(2) f(0) = 1
Was gilt, denn cos(0) + i sin(0) = 1, denn sin(0)=0 und cos(0)=1
e^(i*0)=1, denn i*0=0 und e^0=1

Also gilt, das f(x) konstant 1 ist. □

Anhand dieser Formel werden wichtige mathematische Konstanten in Bezug zueinander gestellt und verschiedene Gebiete miteinander verknüpft (komplexe Zahlen, Exponentialfunktion, trigonometrische Funktionen).

Aber mal ganz ehrlich. Mir ist zwar klar, dass der Beweis stimmt, aber wie eipi0 stimmen kann, wo e und pi reell sind, ist mir schleierhaft. Auf mich wirkt die Formel wie

  • entweder ein Glücksgriff der Mathematik, die den dichten Nebel und die Dunkelheit der Unwissenheit an einer winzigen Stelle auf dieser Ebene verschwinden ließ
  • oder eine absolute Trivialität, die wir als solche noch nicht erkannt haben.

Ein Gedanke zu „Schönste Formel der Mathematik

  1. Die Eulersche Formel e π*i=-1 ist mathematischer Blödsinn!
    Die Eulersche Formel e π*i=-1 (1)
    ist mathematischer Blödsinn! Denn es gilt mit dem Quadrieren der Gleichung (1):
    e π*i*2=1! (2)
    Logarithmiert man nun beide Seiten mit dem natürlichen Logarithmus, dann ergibt sich
    ln [e π*i*2]=ln 1! (3)
    Ln 1 ist aber Null! Damit kann nach den Logarithmen-Gesetzen formuliert werden:
    π*i*2* ln e =0. (4)
    Damit gilt schlussendlich mit i=√-1 und dem nochmaligen Quadrieren beider Seiten
    4* π²≠0! (5)
    Damit ist 1= 0. (6)
    Daraus lässt sich logisch implizieren, dass Euler einer der größten Scharlatane in der Geschichte der Mathematik war! Dies lässt sich übrigens anhand einer (mathematischen) Anekdote, die sich am Hof von Katharina der Großen in Petersburg zugetragen haben soll, zweifelsfrei belegen. Denn Euler zu Diderot (und zum Hofe von Katharina der Großen): „a*bπ=x – darum existiert Gott“. Diderot soll daraufhin fluchtartig den Hof verlassen haben (nach Wikipedia).Die Formel ist natürlich absoluter Blödsinn. Daher an die Leserschaft die Mahnung und Warnung: Immer schön aufpassen bei ganz komplizierten mathematischen Formeln, Zusammenhängen und Abhandlungen! Denn: Genialität beweist sich immer in Einfachheit, weil die Materie einfach strukturiert ist!
    Siegfried Marquardt, Königs Wusterhausen

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